[2015년 백마고]

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[2학년 1학기 중간 미적분1]

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } 5 LEFT ( - {1} over {3} RIGHT ) ^{n}]의 값은? [4.0점]

④

① [eqn: 15 over2]	② [eqn: 15 over4]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: - 5 over4]	⑤ [eqn: - 5 over2]

함수 [eqn: f(x) =x^2 + 2x]에 대하여 닫힌구간 [eqn: [3,```4]]에서의 평균 변화율은? [4.0점]

②

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

[eqn: lim _{n -> INF } {} {2(1 ^{2} +2 ^{2} + CDOTS +n ^{2} )} over {2+6+12+ CDOTS +n(n+1)} =a], [eqn: lim _{n -> INF } {} {bn ^{2} +cn+5} over {3n-2} =1]일 때,
[eqn: a+b-c]의 값은?(단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 상수) [4.1점]

②

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

함수 [eqn: f(x) =cases{ x^2 -2 &```(x le 2)#kx -4 &```(x>2)]에 대하여 극한값 [eqn: lim_x->2 f(x)]가 존재할 때, 상수 [eqn: k]의 값은? [4.1점]

③

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: (a _{1} -3)+(a _{2} -3)+cdots]가 [eqn: 4]로 수렴하고, 그 급수의 제[eqn: n]항까지 부분합을 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: lim_n->inf {a_n +4S_n } over{2a_n + 3S_n }]의 값은? [4.2점]

③

① [eqn: 15 over18]	② [eqn: 17 over18]	③ [eqn: 19 over18]

④ [eqn: 21 over18]	⑤ [eqn: 23 over18]

등식 [eqn: lim_x->3 {x-3} over{x^2 +ax + b} =1]이 성립하도록 하는 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은? [4.2점]

②

① [eqn: -2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 11]

세 수열 [eqn: left{a_n right], [eqn: left{b_n right], [eqn: left{c_n right]에 대하여 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4.2점]

①

ㄱ. [eqn: sum _{ n=1} ^{inf } a_n b_n]과 [eqn: sum_n=1 ^inf a_n]이 수렴하면 [eqn: sum_n=1 ^inf b_n]은 수렴한다.

ㄴ. [eqn: lim_n->inf (a_n +b_n ) =0]이고 [eqn: left{a_n right}]이 수렴하면

[eqn: left{b_n right}]도 수렴한다.

ㄷ. 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_n le c_n le b_n]이고

[eqn: left{a_n right}]과 [eqn: left{b_n right}]이 모두 수렴하면 [eqn: left{c_n right}]은 수렴한다.

① ㄴ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

함수 [eqn: f(x) =sum_k=1 ^15 x^k]에 대하여 [eqn: f` prime(1)]의 값은? [4.3점]

⑤

① [eqn: 66]	② [eqn: 78]	③ [eqn: 91]

④ [eqn: 105]	⑤ [eqn: 120]

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 수열 [eqn: left{ a_n right}]이 부등식
[eqn: n^2 +1 < na_n <n^2 +4]
를 만족할 때, [eqn: lim_n->inf {4n^3 +1 } over{a_1 + 2a_2 + 3a_3 + cdots + na_n }]의 값은? [4.4점]

③

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 12]
④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 14]

수열 [eqn: left{ 3r^n-1 over1+r^n right}]의 극한값이 될 수 없는 것은? [4.4점]

⑤

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 3 over2]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

다항함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 [eqn: lim_x->5 f(x)-3 overx-5 =1], [eqn: lim_x->5 g(x)+4 overx-5 =6]을 만족시킬 때, 함수 [eqn: h(x) =f(x)g(x)]에 대하여 곡선 [eqn: y=h(x)] 위의 [eqn: x=5]인 점에서의 접선의 기울기는? [4.4점]

④

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

첫째항이 [eqn: 2]인 등차수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라고 하자. [eqn: sum_n=1^inf {a_n +a_n+2 }over{2S_n S_n+1}]의 값은? [4.5점]

①

① [eqn: 1 over2]	② [eqn: 1 over3]	③ [eqn: 1 over4]

④ [eqn: 1 over5]	⑤ [eqn: 1 over 6]

[eqn: lim_x->inf (root{4x^2 -12x +15} +ax-b ) =0]일 때,
[eqn: lim_x->inf x(root{4x^2 -12x +15 }+ax-b)]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수)
[4.7점]

⑤

① [eqn: 0]	② [eqn: 1 over2]	③ [eqn: 3 over4]

④ [eqn: 5 over4]	⑤ [eqn: 3 over2]

그림과 같이 [eqn: bar{rm AB }=5], [eqn: rmbarAD =10]인 직사각형 [eqn: rmABCD]에 내접하는 반원 [eqn: O_1]을 그리고, [eqn: O_1]에 내접하는 직사각형 [eqn: rmA _{1} B _{1} C _{1} D _{1}]을 그린다. 이와 같이 직사각형에 내접하는 반원을 한없이 그려나갈 때, 색칠된 부분의 넓이의 합은?[4.7점]

②

① [eqn: 25pi -50]	② [eqn: 25 over2 pi -25]	③ [eqn: 25 over4 pi -25]

④ [eqn: 25 over2 pi - 25 over2]	⑤ [eqn: 25 over4 pi - 25 over2]

구간 [eqn: [-1,```3]]에서 연속인 함수
[eqn: f(x) =cases {ax+b &```(-1 le x le 1)#{x^3 -6x^2 +6x -a} overx-1 &```(1<x le 3)]
의 최댓값을 [eqn: p], 최솟값을 [eqn: q]라고 할 때, [eqn: p-4q]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수) [4.8점]

③

① [eqn: 8]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 18]

④ [eqn: 23]	⑤ [eqn: 28]

그림은 두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]의 그래프이다.

보기 중 [eqn: x=1]에서 연속인 함수의 개수는? [4.9점]

④

ㄱ. [eqn: f(x)``+g(x)]	ㄴ. [eqn: f(x) g(x)]

ㄷ. [eqn: f(x)`-`g(x)]	ㄹ. [eqn: f(g(x))]

ㅁ. [eqn: g(f(x))]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

서술형

수열 [eqn: left{(x^2 -8)^n right}]과 급수 [eqn: sum_n=1 ^inf `(x-3)(2-x)^n-1]이 동시에 수렴하는 실수 [eqn: x]의 값의 범위를 구하는 풀이과정과 답을 서술하시오. [8.0점]

[eqn: sqrt {7} <x LEQ 3]

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: x]에 대한 이차방정식
[eqn: (n+1)x^2 +(3n-7)x -5n =0]
의 두 근 [eqn: left{a_n right}], [eqn: left{b_n right]이 각각 수렴한다고 할 때,
[eqn: lim_n->inf (a_n^2 +a_n b_n +b_n^2 )]의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 서술하시오. [7.0점]

[eqn: 14]

함수 [eqn: f(x)=|x^2 -1|]의 [eqn: x=1]에서의 연속성과 미분가능성을 조사하고 풀이과정을 서술하시오. (단, 반드시 미분계수의 정의를 이용하여 서술하시오.) [7.0점]

연속, 미분불가능

함수 [eqn: f(x)=lim_n->inf `{ax^n+1 -2x +7}over{x^n +bx +2}]이 [eqn: x=1]에서 연속이 되도록 하는 정수 [eqn: a], [eqn: b]의 순서쌍 [eqn: (a,```b)]을 있는 대로 구하고 풀이과정을 서술하시오. [8.0점]

[eqn: (-1,```-7)], [eqn: (1,```3)], [eqn: (5,```-1)]

* [eqn: (-5,```-3)]은 [eqn: f(1)]이 정의되지 않음

[2015년 백마고]

[2학년 1학기 중간 미적분1]

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